La sequenza di Fibonacci & la sezione aurea

La sequenza di Fibonacci è senz'altro la più conosciuta, soprattutto per le sue caratteristiche, per le sue proprietà e per la sua semplicità.

Essa è ricorsiva, e si pone F(0) = 0 e F(1) = 1. A questo punto la sequenza viene data dalla formula F(n) = F(n-1) + F(n-2), generando numeri di questo tipo:

Ecco elencate alcune proprietà che ha questa sequenza:

1)    Il quadrato di ogni numero di Fibonacci differisce di uno dal prodotto dei due numeri di fianco ad esso. La differenza è, alternativamente, più o meno, via via che la serie continua.

Il quadrato del 5° numero di Fibonacci è 25, che differisce di +1 dal prodotto del 4° e del 6° numero, che è 3*8=24. Il quadrato del 6° numero, 64, invece, differisce di -1 da 13*5=65.

2)    Sommando i primi n numeri di Fibonacci ed aggiungendo 1, il risultato è sempre uguale al numero (n+2) di Fibonacci, ovvero al numero due volte dopo all'ultimo addizionato.

Ad esempio, sommando i primi 5 numeri di Fibonacci si ottiene 12, che è uguale al 7 numero di Fibonacci (13) -1.

3)    Se invece di sommare tutti i numeri se ne somma uno si ed uno no, il risultato è sempre uguale al numero successivo all'ultimo addizionato.

Quindi sommando uno ogni due i primi 9 numeri si ottiene: 1+2+5+13+34 = 55 , il decimo numero.

4)    Se si somma il quadrato dell' n° numero con il quadrato del suo successivo si ottiene il 2n+1° numero della sequenza.

Il quarto numero è 3, il quinto 5. La somma dei due quadrati è 3*3 + 5*5 = 9 + 25 = 34, ovvero il nono numero.

5)    Ogni terzo numero di Fibonacci F(3n) è divisibile per 2, ogni quarto numero F(4n) è divisibile per 3, ogni quinto numero F(5n) è divisibile per 5, ogni sesto per 8, e così via, essendo i divisori i numeri della sequenza di Fibonacci.

6)    Per quattro numeri di Fibonacci consecutivi qualsiasi, chiamati A, B, C, D, è sempre valida la seguente relazione: C^2 - B^2 = A * D.

Prendendo i numeri di Fibonacci dal quarto al settimo abbiamo: A=3, B=5, C=8, D=13. Come scritto nella formula, 64 - 25 = 3 * 13 = 39.

7)    A parte il caso banale dello zero e dell'uno, l'unico numero di Fibonacci quadrato perfetto è F(12), che è proprio 12*12=144. L'unico cubo è F(6) = 8.

Parlando della sequenza di Fibonacci, non si può non trattare anche della famosissima sezione aurea. Da sempre i filosofi, i matematici, ma soprattutto gli artisti, si sono chiesti quale fosse la maniera più bella per dividere un segmento. E' emerso che tutti ritenevano che la divisione ideale non corrispondeva alla metà, bensì a qualcosa in più della metà, precisamente quando il rapporto fra le due parti del segmento è di 1,618... Questo rapporto è chiamato sezione aurea.

Cosa c'entra la sezione aurea con i numeri di Fibonacci? Semplice: il rapporto fra due numeri di Fibonacci consecutivi, con l'alzarsi dei numeri, tende ad avvicinarsi sempre di più al coefficiente aureo, il nostro 1,618...  Ecco mostrato in tabella l'evolversi dei rapporti fra numeri di Fibonacci consecutivi:

Come si può vedere dalla tabella di sopra i rapporti sono sempre uno minore e l'altro maggiore del numero aureo, ma chiaramente non ci arriveranno mai, sebbene gli si avvicinino sempre di più. Bastano anche solo i primi 10 numeri di Fibonacci per avere un rapporto aureo approssimato già a tre cifre decimali.

Una caratteristica importante del numero aureo è che esso non è trascendente come il pi greco o e, infatti la sezione aurea di un segmento viene definita come quella parte media proporzionale fra l'intero segmento e la parte rimanente. La proporzione può venire scritta così se la lunghezza del segmento rimanente è uguale a 1: (n+1) : n = n : 1. Da ciò si arriva alla formula n^2 -n -1 = 0, che fornisce l'esatto valore del coefficiente aureo:

N =

Esso può anche essere espresso in altri strani modi, come una frazione continua avente tutti i coefficienti uguali a 1:

N =

Oppure con una serie infinita di radici piene sempre di 1:

Ecco invece dove appare la sezione aurea in geometria. Guardate il pentagono qua sotto:

Forse non ci crederete, ma il rapporto fra una qualsiasi diagonale ed il lato è proprio uguale al numero aureo, così come lo è anche il rapporto fra le parti in blu e quella in rosso della diagonale. Si potrebbe andare avanti all'infinito, costruendo sempre altre diagonali nel pentagono che viene fuori al centro, ed i due rapporti rimarrebbero sempre uguali al numero aureo.