Le curiosità dei Numeri Ciclici

I numeri ciclici, o circolari, sono particolari in quanto moltiplicandoli per qualsiasi numero, sommando o facendo altre curiose operazioni, danno come risultato sempre le stesse cifre del numero di partenza, che girano come se l'ultima fosse attaccata alla prima.

Il più piccolo numero ciclico, escludendo il caso banale dell'1, è 142857. Proviamo a divertirci un po' con questo numero, dapprima provando a moltiplicarlo per i primi sette numeri naturali:

Si nota subito che questo numero ha qualcosa di magico: le cifre sono sempre le stesse, e se immaginiamo di attaccare l'ultima alla prima, creando una ruota numerica, esse compaiono anche nello stesso ordine. L'ultima moltiplicazione, quella per 7, ci da tutti 9 (Ogni numero ciclico di n cifre, moltiplicato per n+1, da tutti 9).

Ma non bisogna pensare che sia finita qui, infatti con un piccolo trucchetto, si può far venir fuori la sequenza di cifre moltiplicando il numero per qualsiasi fattore intero. Ecco come:

142857 * 342 = 48857094   ----   857094 + 48 = 857142

142857 * 23341 = 3334425237   ----   425237 + 3334 = 428571

In pratica basta dividere il numero ottenuto dalla moltiplicazione in gruppi di 6 e poi sommarli! Se si moltiplica per un multiplo di 7 si otterranno tutti 9. (In generale moltiplicando un numero ciclico di n cifre per un numero qualsiasi e sommando i gruppi di n cifre si ottiene la stessa sequenza di numeri. Se si moltiplica per un multiplo di n+1 allora il risultato della somma è una sequenza di n 9).

Dopo aver visto alcune curiosità sulla moltiplicazione, giochiamo con l'addizione. Scomponendo il numero 142857 in gruppi di 3, 2, 1 cifre e sommandoli, vengono sempre fuori solo 9.

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27 --- 2 + 7 = 9

Dalla prima addizione possiamo anche notare una delle più importanti caratteristiche dei numeri ciclici, che permette di trovare l'intero numero conoscendone solo metà. (In generale un numero ciclico di n cifre può essere scomposto in gruppi di d cifre [dove d è un fattore di p] che sommati danno una serie di 9).

Altri strani modi di far venire fuori il numero circolare 142857 sono questi:

In questo caso vengono si parte scrivendo 14 in alto a sinistra e poi moltiplicando sempre per 2 e scrivendo il numero successivo spostato di due posti verso destra. La somma da una serie infinita di 142857...

In questo modo, invece, si ottiene il numero partendo da 7 e poi scrivendo sotto a sinistra di una posizione il numero di sopra moltiplicato per 5.

I numeri ciclici sono strettamente legati ai reciproci di alcuni numeri primi. Quando dividendo 1 per un numero primo p si ottiene un periodo di lunghezza p-1 allora il periodo è un numero ciclico. I primi esempi sono:

Quando il periodo è di lunghezza pari alla metà, ad un terzo, ecc... del numero primo per cui è stata fatta la divisione, si otterrà un numero ciclico di secondo, di terzo, ecc... ordine. I numeri ciclici di ordine superiore presentano caratteristiche simili a quelli di primo ordine solo in alcuni casi, e sono se vogliamo meno spettacolari di questi.

Con un programma è stato trovato questo numero ciclico di 2886 cifre. Chiunque abbia voglia è libero di controllare!

000346380325597506061655697956356078974714236231382057499134049186006234845860755109109802563214409
421544856252164877034984412885348112227225493591963976446137859369587807412538967786629719431936266
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165223415310010391409767925181849670938690682369241427086941461724974021475580187045375822653273294
076896432282646345687564946311049532386560443366816764807758919293384135781087634222376169033598891
582958087980602701766539660547280914444059577416002771042604780048493245583650848631797713889851056
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