Quando Achille si trova in Ao la tartaruga è in To. Achille corre per
raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1,
avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in
vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra
proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga. Svolgiamo però il calcolo
delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velocità di Achille sia
v =1 m/s e ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri. Achille percorre
una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+...
secondi. La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un
tempo uguale. Si vede subito che si tratta di tre serie geometriche convergenti,
p.es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà
di tale valore mentre il tempo impiegato è t = 10(1+1/2+1/4+...) =
10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, dopo aver
percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo
la supera definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove
viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che
una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito. Alla luce
delle moderne conoscenze matematiche la soluzione è addirittura banale e si
riduce ad un semplicissimo esercizio di cinematica.
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