Il triangolo di Tartaglia è quel triangolo che si costruisce sommando sempre i due numeri sopra, e che forse molti ricordano dai tempi della scuola perché serve per calcolare le potenze di un binomio. Esso possiede però molte altre caratteristiche, ed alcune di esse sono veramente notevoli.
Ecco come si presenta il triangolo nelle sue prime 9 righe:
Ora qui sotto elencherò le caratteristiche più belle di questo gruppo di numeri:
1)
Se si sommano tutti i numeri della riga n si ottiene esattamente 2^n. Esempio: se sommiamo tutti i numeri della riga 7 abbiamo: 1+7+21+35+35+21+7+1 = 128 = 2^7.
2)
Sulla linea diagonale subito dietro a quella degli uno (chiaramente da una parte o dall'altra fa lo stesso) ci sono tutti i numeri naturali, e su quella dietro ancora ci sono numeri triangolari (1 3 6 10 15 21 28 ...). Quindi nella riga n si leggerà il numero triangolare che equivale alla somma di tutti i numeri naturali fino a n-1. Ad esempio sulla quinta riga leggiamo il numero triangolare 10, che è 1+2+3+4; mentre sulla ottava leggiamo il numero triangolare 28, che è 1+2+3+4+5+6+7.
3)
Sul triangolo di Tartaglia si possono trovare anche i numeri di Fibonacci: basta sommare i numeri delle righe diagonali che si spostano ogni volta non di un numero, ma di due. Queste righe sono evidenziate nella figura sopra da un colore diverso: blu, rosa, rosso, verde, blu, ... Sommando appunto i numeri di ogni riga otteniamo dalla prima 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21,... Esattamente i numeri di Finbonacci!
4)
Incredibile! Il triangolo di Tartaglia è utile anche nel calcolo combinatorio: si possono determinare immediatamente le combinazioni di k elementi in un gruppo di n elementi. Basta andare sull'uno della riga k e scendere in diagonale sulla riga n. Ad esempio se si vuol sapere quanti gruppi possibili di 5 persone si possono fare in una comitiva di 8 persone basta puntare il dito sull'uno della quinta riga e scendere in diagonale fino all'ottava riga. Il numero delle combinazioni possibili è proprio 56!
5)
Giusto per ricordarsi delle lezioni di matematica a scuola, cito anche l'applicazione del triangolo nell'algebra: serve per trovare le potenze di un binomio.
(A+B)^3 = 1 * A^3 + 3 * (A^2 * B) + 3 * (A * B^2) + 1 * B^3
(A+B)^4 = 1 * A^4 + 4 * (A^3 * B) + 6 * (A^2 * B^2) + 4 * (A * B^3) + 1 * B^4
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